Introducción

En el presente trabajo se estudia la relación entre los diferentes parámetros cosmológicos y su influencia en las ecuaciones cosmológicas. Mediante la variación de sus valores, es posible obtener relaciones y predecir de qué formas se comportará un modelo de universo.

Metodología

Para la resolución de los distintos apartados se ha utilizado las ecuaciones definidas en la web de CosmoCalc, ver https://www.astro.ucla.edu/~wright/CosmoCalc.html.

No obstante, para presentar de forma clara la solución a los ejercicios, se ha actualizado el script de Python proporcionado por James Schombert. Dicho script puede encontrarse en la siguiente dirección https://www.astro.ucla.edu/~wright/CC.python. Nótese que el código utiliza Python 2. Esta version ha sido abandonada en favor de Python 3.

import cosmocalc

Modificación de los diferentes parámetros cosmológicos

Ejercicio 1: dependencia de la edad con H0

Calcular la edad del Universo para $H_0 = 50$, $\Omega_m = 1$, $\Omega_{\Lambda} = 0$, es decir, la edad de un universo plano, sin constante cosmológica y dominado totalmente por la materia.

Sustituimos los valores indicados y calculamos el valor para la edad del universo:

z, H0, Omega_m, Omega_vac = 3, 50, 1, 0
universe_age, *_ = cosmocalc.solve(z, H0, Omega_m, Omega_vac)
print(f"Edad del universo: {universe_age:.3f} Gyr")

Edad del universo: 13.035 Gyr

Considerar distintos valores de $H_0$, tal que 100, 500, 67. ¿Cómo varía la edad del Universo?¿Por qué?¿Son razonables los resultados?

Procedemos de la misma forma pero para varios valores:

for H0 in [67, 100, 500]:
    universe_age, *_ = cosmocalc.solve(z, H0, Omega_m, Omega_vac)
    print(f"Edad del universo para {H0 = } es de {universe_age:.3f} Gyr")

Edad del universo para H0 = 67 es de 9.728 Gyr
Edad del universo para H0 = 100 es de 6.518 Gyr
Edad del universo para H0 = 500 es de 1.304 Gyr

Los valores anteriores tiene sentido si recordamos la expresión:

$$ t(z)={\frac{1}{H_{0}}}\int_{z}^{\infty}{\frac{d z^{\prime}}{(1+z^{\prime})E(z^{\prime})}} $$

En la expresión anterior, a mayor valores de $H_0$, menor es el cociente y por ello, menor el tiempo para la edad del Universo.

Ejercicio 2: dependencia de la edad con $\Omega_m$ y $\Omega_{\Lambda}$

¿Qué ocurre si en lugar de variar $H_0$ se modifica $\Omega_{m}$?¿Qué ocurre si se aumenta $\Omega_{\Lambda}$?¿Por qué?

Para comprender mejor la dependencia de la edad con $\Omega_m$ y $\Omega_{\Lambda}$ podemos generar un mapa de contorno. Comenzamos resolviendo los valores para varias combinaciones:

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

z, H0 = 3, 70
N_points = 11
Omega_m_values, Omega_vac_values = (
    np.linspace(0, 1, num=N_points), 
    np.linspace(0, 1, num=N_points)
)
universe_age_values = np.zeros(
    (len(Omega_m_values), len(Omega_vac_values))
)

for i,  Omega_m in enumerate(Omega_m_values):
    for j, Omega_vac in enumerate(Omega_vac_values):
        universe_age_values[i, j], *_ = (
            cosmocalc.solve(z, H0, Omega_m, Omega_vac)
        )

Finalmente, representamos de forma gráfica su relación:

import matplotlib.pyplot as plt

fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 6))

contour = ax.contourf(
    Omega_m_values, Omega_vac_values, 
    universe_age_values, levels=10, cmap="Reds"
)
contour = ax.contour(
    Omega_m_values, Omega_vac_values, 
    universe_age_values, levels=10, colors="black"
)
ax.clabel(
    contour, inline=True, fontsize=8, fmt="%.2f Gyr"
)

ax.set_xlabel(r"$\Omega_m$")
ax.set_ylabel(r"$\Omega_{\Lambda}$")
ax.set_title(
    r"Dependencia de la edad con $\Omega_m$ y $\Omega_{\Lambda}$"
)

plt.show()

$\Omega_m$ representa la fracción de la densidad crítica del universo que está compuesta por materia (materia oscura y materia bariónica). Cuanto mayor sea $\Omega_m$, mayor será la densidad de materia en el universo, lo que llevará a una expansión más lenta del universo debido a la atracción gravitatoria de la materia. Una mayor densidad de materia ralentizará la expansión del universo, lo que, a su vez, aumentará la edad del universo. En otras palabras, un universo con más materia tendrá una edad mayor.

$\Omega_\Lambda$ representa la fracción de la densidad crítica del universo asociada a la energía oscura, a menudo representada por la constante cosmológica $\Lambda$. Cuanto mayor sea $\Omega_\Lambda$, mayor será la influencia de la energía oscura en la expansión del universo. La energía oscura tiene un efecto de aceleración sobre la expansión del universo, lo que significa que un universo con una mayor fracción de $\Omega_\Lambda$ se expandirá a una tasa más rápida a lo largo del tiempo. Debido a esta expansión acelerada, un universo con una mayor $\Omega_\Lambda$ tendrá una edad más joven en comparación con un universo con menos influencia de la energía oscura.

Ejercicio 3: dependencia de la edad con $\Omega_K$

¿Qué ocurre si se modifica la curvatura a positiva (0.1) o negativa (-1)?¿Cómo se compara con un universo plano?

Para el modelo Lambda-CDM, se conoce que:

$$ \Omega_m + \Omega_K + \Omega_\Lambda = 1 $$

Utilizamos la gráfica anterior para representar el valor de $\Omega_K$:

fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 6))

Omega_k_values = np.zeros(
    (len(Omega_m_values), len(Omega_vac_values))
)

for i,  Omega_m in enumerate(Omega_m_values):
    for j, Omega_vac in enumerate(Omega_vac_values):
        Omega_k_values[i, j] = (
            1 - Omega_m - Omega_vac
        )

contour = ax.contourf(
    Omega_m_values, Omega_vac_values, 
    universe_age_values, levels=10, cmap="Reds"
)
contour = ax.contour(
    Omega_m_values, Omega_vac_values, 
    universe_age_values, levels=10, colors="black"
)
ax.clabel(
    contour, inline=True, fontsize=8, fmt="%.2f Gyr"
)

contour = ax.contour(
    Omega_m_values, Omega_vac_values, Omega_k_values, 
    colors="black"
)
ax.clabel(
    contour, inline=True, fontsize=8, fmt="$\Omega_{K}$ = %.2f"
)

ax.set_xlabel(r"$\Omega_m$")
ax.set_ylabel(r"$\Omega_{\Lambda}$")
ax.set_title(
    r"Dependencia de la edad con $\Omega_m$ y $\Omega_{\Lambda}$"
)

plt.show()

La curvatura del universo está relacionada con el parámetro $\Omega_K$. En el modelo cosmológico Lambda-CDM (Cold Dark Matter), se asume que el universo es plano cuando $\Omega_K = 0$. Cuando se modifica la curvatura a positiva ($\Omega_K > 0$) o negativa ($\Omega_K < 0$), esto tiene importantes implicaciones en la geometría y la expansión del universo, y afecta la edad del universo de la siguiente manera:

Universo plano ($\Omega_K = 0$)

En un universo plano, la curvatura espacial es nula, lo que significa que la densidad total del universo es igual a la densidad crítica necesaria para que la expansión sea exactamente igual a la velocidad de escape. En este caso, la expansión del universo es influenciada principalmente por la densidad de materia y la constante cosmológica $\Lambda$ (energía oscura). La edad del universo en un universo plano será mayor que en un universo con curvatura positiva y menor que en un universo con curvatura negativa.

Universo con curvatura positiva ($\Omega_K > 0$)

En un universo con curvatura positiva, la densidad total del universo es mayor que la densidad crítica, lo que significa que la expansión está frenada por la gravedad causada por la densidad de la materia y la curvatura positiva. Como resultado, la expansión del universo será más lenta que en un universo plano, lo que lleva a una edad del universo mayor en comparación con un universo plano.

Universo con curvatura negativa ($\Omega_K < 0$)

En un universo con curvatura negativa, la densidad total del universo es menor que la densidad crítica, lo que significa que la expansión no está frenada por la gravedad de la misma manera que en un universo plano. En este caso, la expansión del universo será más rápida que en un universo plano, lo que lleva a una edad del universo menor en comparación con un universo plano.

Ejercicio 4: edad de los objetos

¿Cuál puede ser el valor máximo de $H_0$ si $\Omega_m = 1$ y $\Omega_\Lambda = 0$? Si $H_0 = 67$, ¿es $\Omega = 0.3$ consistente con las edades de los objetos de nuestra galaxia?

La condición impuesta de $\Omega_m = 1$ y $\Omega_\Lambda = 0$ corresponde al universo de Einstein de Sitter. Es un universo con constante cosmológica nula y que presenta una densidad igual a la crítica. Por ello, este universo se expande de forma constante hasta detenerse en el infinito, justo en la velocidad de escape.

Atendiendo a la ecuación de Fridman, se calcula que:

$$ H_0 = \sqrt{\frac{8\pi G}{3}\rho} $$

donde $\rho$ es la densidad del universo y determina el valor máximo de $H_0$, el cual permanecerá constante con el tiempo.

Para determinar si un valor de $\Omega = 0.3$ es consistente con las edades de los objetos en nuestra galaxia en el contexto de la constante de Hubble $H_0$ igual a 67 km/s/Mpc, primero debemos entender cómo se relaciona la edad del universo con estos parámetros.

La edad del universo $t$ se puede calcular utilizando la siguiente fórmula:

$$ t = \frac{1}{H_0} $$

Podemos calcular la edad del universo:

H0 = 67
t = 1 / H0 * 1000
print(f"La edad del universo para {H0 = :.2f} es de {t = :.2f} mil millones de años")

La edad del universo para H0 = 67.00 es de t = 14.93 mil millones de años

Ahora, la consistencia de $\Omega = 0.3$ con las edades de los objetos en nuestra galaxia se refiere a si esta densidad de materia es suficiente para explicar la formación y evolución de objetos astrofísicos dentro del marco de tiempo de la edad del universo.

En cosmología, $\Omega$ representa la densidad de materia (tanto materia oscura como materia bariónica) en relación con la densidad crítica necesaria para un universo plano $\Omega = 1$ indica un universo plano). En este caso, $\Omega = 0.3$ significa que la densidad de materia es el 30% de la densidad crítica necesaria para un universo plano.

Para determinar si esta densidad de materia es consistente con las edades de los objetos en nuestra galaxia, debemos considerar la formación y evolución de estrellas, sistemas estelares y otros objetos astronómicos. Estos procesos dependen de varios factores, incluida la densidad de materia, pero también de otros parámetros como la composición química, la dinámica galáctica y otros procesos astrofísicos.

En general, $\Omega = 0.3$ es consistente con muchas observaciones astronómicas y modelos cosmológicos actuales y proporciona una buena descripción de cómo evolucionó el universo desde el Big Bang. Sin embargo, la formación y evolución de objetos específicos en nuestra galaxia pueden depender de detalles más finos y otros factores, por lo que es necesario considerar modelos astrofísicos específicos para determinar su consistencia con las edades observadas de esos objetos.

En resumen, el valor de $\Omega = 0.3$ es coherente con la edad del universo tal como se calcula a partir de la constante de Hubble actual, pero la consistencia con las edades de objetos específicos en nuestra galaxia requeriría un análisis más detallado de modelos astrofísicos específicos.